From e6e18cfa8690d26aca0b21e4d7f043355bc8f9a6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?utf8?q?Bj=C3=B8rn=20Rustad?= <bjorn@rustad.me>
Date: Thu, 15 Mar 2012 16:32:51 +0100
Subject: [PATCH] Finish up problem 1 a)

---
 rapport.tex | 45 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------
 1 file changed, 37 insertions(+), 8 deletions(-)

diff --git a/rapport.tex b/rapport.tex
index a697354..942115d 100644
--- a/rapport.tex
+++ b/rapport.tex
@@ -56,18 +56,47 @@ I denne oppgaven ser vi på kjøp og salg av aksjer. Vi kjøper aksjer for
 en samlet pris av $1$, og selger dem igjen ved en tid $T$, og ønsker å
 maksimere utbyttet samtidig som vi minimerer risikoen.
 
-Ved $t = 0$ koster aksjene $v = (v_1, \cdots, v_n)$ og vi kjøper da
-$x_i$ av aksje $i$. Ved tid $T$ har aksjene en forventningsverdi $\mu_i$
-og en kovarians $\sigma_{ij}$. Burde vi ha med noe E(X) her lol?.
-Avkastningen kan vi da skrive som $R = \mu'x$.
+Prisen på aksjene varierer som en multivariabel stokastisk prosess,
+\begin{equation}
+  \label{eq:price}
+  X\left(t\right) = \left(X_1\left(t\right), \cdots,
+    X_n\left(t\right)\right), \text{ der }
+  X\left(0\right) = v = \left(v_1, \cdots, v_n\right).
+\end{equation}
+Ved tid $t = T$ har prisen til aksje $i$ en forventningsverdi $\mu_i$ og
+en kovarians $\sigma_{ij}$ med aksje $j$. Vi kjøper $x_i$ av aksje $i$,
+og avkastningen kan da skrives som $R = X\left(T\right)'x$.
 
 Vi konstruerer en kombinert funksjon som vi ønsker å minimere,
-\begin{equation}
+\begin{align}
   \label{eq:j}
-  J\left(x\right) = -E\left(R\right) + \kappa
-    \mathrm{Var}\left(R\right).
-\end{equation}
+  J\left(x\right) &= -E\left(R\right) + \tilde{\kappa}
+    \mathrm{Var}\left(R\right) \nonumber \\
+  &= -E\left(X\left(T\right)'x\right)'x +
+    \tilde{\kappa}\mathrm{Var}\left(X\left(T\right)\right) \nonumber \\
+  &= -\mu'x + \tilde{\kappa}\left(\sum_i x_i \sum_j x_j
+    \mathrm{Cov}\left(X_i, X_j\right)\right) \nonumber \\
+  &= -\mu'x + \tilde{\kappa}\sum_i x_i \sum_j x_j \sigma_{ij} \nonumber \\
+  &= -\mu'x + \frac{\kappa}{2}x'Cx.
+\end{align}
+Siden $x$ er antallet aksjer vi \emph{kjøper} ved tid $t = 0$ er dette
+en vektor med ikke-negative elementer. Det forventes at vi bruker alle
+pengene vi har til disposisjon, som er normalisert til $1$. Kombinert
+får vi da dette kvadratiske optimiserings-problemet:
+\begin{gather}
+  \label{eq:quadopt}
+  \min \left(-\mu'x + \frac{\kappa}{2}x'Cx\right) \\
+  \begin{aligned}
+  v'x &= 1 \nonumber \\
+  x &\geq 0 \nonumber
+  \end{aligned}
+\end{gather}
 
+\subsection{b)}
+State KKT-equations
+
+\subsection{c)}
+Guess when kappa = 0 and solve lp problem
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Oppgave 3}
-- 
2.47.3