From 4534ade5caf63c768839016e32d61f6c030a7465 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?utf8?q?Bj=C3=B8rn=20Rustad?= Date: Mon, 19 Mar 2012 22:41:07 +0100 Subject: [PATCH] Get 2ef from Lars, fix references etc --- rapport.tex | 76 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------- 1 file changed, 65 insertions(+), 11 deletions(-) diff --git a/rapport.tex b/rapport.tex index f1411eb..951fab5 100644 --- a/rapport.tex +++ b/rapport.tex @@ -4,9 +4,11 @@ \documentclass[12pt, a4paper]{article} \special{papersize=210mm,297mm} \usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[norsk]{babel} \usepackage{listings} \usepackage{graphicx} \usepackage{color} +\usepackage{hyperref} \usepackage{xfrac} \usepackage{natbib} \usepackage{amssymb, amsmath} @@ -129,7 +131,7 @@ dette inn i \eqref{eq:foring1}, og får dermed at -x_{1}^{2} + x_{3}^{2} = 0 \;\;\;\Rightarrow \;\;x_{1}^{2} = x_{3}^{2} \;\;\Rightarrow\;\; x_{1} = \pm x_{3}. \end{equation} -Siden alle $x_i \geq 0$, har vi da at $x_1 = x_3$. Vi settee dette inn i +Siden alle $x_i \geq 0$, har vi da at $x_1 = x_3$. Vi setter dette inn i funksjonsuttrykket (\ref{eq:f}), og får da at med disse aktive føringene kan funksjonen uttrykkes \begin{equation} @@ -239,7 +241,8 @@ Dette gir et resultat $R = x_k \mu_k = \frac{\mu_k}{v_k}$, så vi velger å kjøpe så mye som mulig av den aksjen der $\frac{\mu_k}{v_k}$ er størst. -Problemet reduseres da til et LP-problem, med følgende dual-problem +Vi vil bekrefte dette ved å se på det nye LP-problemet, med følgende +dual-problem: \begin{gather} \label{eq:dual} \min -\pi \\ @@ -276,15 +279,66 @@ er det vilkårlig hvor mange vi kjøper av hver, så lenge likning \eqref{eq:duallagrange} er oppfylt. \subsection{d)} -$\kappa = \inf$ heyyy. +Vi har nå at $C$ er diagonal med diagonalelementer $\sigma_{ii} > 0$ for +$i=1,\cdots,n$, slik at alle aksjer har varians, og ser på løsningen av +problemet når $\kappa \to \infty$. -\subsection{e)} -Når antallet aksjer $n$ er liten, f.eks. $2$ eller $3$, lar problemet -seg håndtere uten bruk av Matlab. Problemet \eqref{eq:quadopt} og -KKT-likningene \eqref{eq:kkt} er som før, med en likhets-føring, og $n$ -ulikhetsføringer. Dette gir oss $2^n$ forskjellige mulige kombinasjoner -av aktive føringer. Disse må man gå gjennom, og når man får et KKT-punkt -vet man at man har et minimum, da problemet fortsatt er konvekst. +Problemet forenkler seg da til +\begin{equation} + \min_{x}\left\{ \frac{1}{2}x'Cx \right\} = \min_x \left\{ + \sum_{i=1}^{n}\sigma_{ii}x_{i}^{2} \right\}, +\end{equation} +med samme føringer som tidligere. + +For å minimere variansen, tenker vi at det må være lurt å spre risikoen +utover flest mulig aksjer, slik at vi kjøper litt av alle. Altså prøver +vi først å la alle $x_i > 0$, slik at ingen av ulikhetsføringene er +aktive. Vi deriverer Lagrange-funksjonen, og får på komponentform +\begin{equation} + \frac{\partial}{\partial x_i}\mathcal{L}(x,\lambda) = \sigma_{ii}x_i - + \pi v_i = 0, +\end{equation} +slik at +\begin{equation} + x_i = \frac{\pi v_i}{\sigma_{ii}}. +\end{equation} +Dette setter vi så inn i likhetsføringen $v'x - 1 = 0$ på komponentform, +og får +\begin{equation} + \sum_{i=1}^{n}v_i \frac{\pi v_i}{\sigma_{ii}} - 1 = + 0\;\;\Rightarrow\;\;\pi = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} + \frac{v_{i}^{2}}{\sigma_{ii}}} = \frac{1}{v'C^{-1}v}. +\end{equation} +Dette kan vi sette inn i uttrykket for den deriverte av +Lagrange-funksjonen, nå på vektorform, +\begin{equation} + \nabla_x \mathcal{L} = Cx - \pi v = 0, +\end{equation} +og får ved å flytte over og gange med $C^{-1}$ følgende uttrykk for $x$: +\begin{equation} + x = \frac{C^{-1}v}{v'C^{-1}v}. +\end{equation} +Vi ser altså ut til å ha funnet en løsning, og siden $f$ er en konveks +funskjon når $C$ er positiv definitt, vet vi at løsningen er unik. +Antagelsen om at det ville lønne seg å kjøpe litt av hver aksje stemmer. + +\subsection{e)} +Dersom $n=2$ eller $n=3$ og $\kappa > 0$, vil vi antagelig kunne klare å +finne en løsning av problemet uten alt for mye arbeid. Når $n=2$ +\emph{kan} vi skrive ut vektor- og matriseproduktene, bruke +likhetsføringen, og løse systemet med innsettingsmetoden. Vi vil da få +et uttrykk for $x_1$ og $x_2$ med bare kjente størrelser, men selv med +$n=2$ viste dette seg å bli lite elegante uttrykk, og en temmelig +arbeidsom metode. For $n=3$ kan vi forestille oss at det blir langt +verre. + +Den enkleste måten å gå frem på, vil være å systematisk gå gjennom alle +mulige kombinasjoner av aktive føringer – $2^n$ – og lete etter +KKT-punkter, slik som i \citep*[s.~7]{kktnote}. Dette kan vi gjøre så +lenge $n$ er liten. Siden vi vet at $C$ vil være minst positiv +semi-definitt, vet vi at vi får et konvekst problem, slik at KKT-punkt +vil være løsninger. Er $C$ positiv definitt vil det kun være ett slikt +punkt, som vil være den unike løsningen av problemet. \subsection{f)} Vi konstruerer et numerisk eksempel der @@ -491,6 +545,6 @@ vi fremdeles fikk steg med større feil enn tidligere. Ved å undersøke saken nærmere ser vi at vi får større feil i steg der produktet $v'p < 0$, men fant ingen metode for å forhindre dette. -\bibliographystyle{plain} +\bibliographystyle{alpha} \bibliography{refs} \end{document} -- 2.47.3