From: Bjørn Rustad <rustadbjornen@gmail.com>
Date: Fri, 16 Mar 2012 16:30:32 +0000 (+0100)
Subject: Fixed some more on problem 1
X-Git-Url: http://git.rustad.me/?a=commitdiff_plain;h=1fe9cf64f9bfc6e66f1f019e7383aa57550eb67b;p=optimering

Fixed some more on problem 1
---

diff --git a/rapport.tex b/rapport.tex
index e008cec..489b39b 100644
--- a/rapport.tex
+++ b/rapport.tex
@@ -27,7 +27,7 @@
   breakatwhitespace=true,       % sets if automatic breaks should onlyhappen at whitespace
   keywordstyle=\color{black},   % keyword style
   commentstyle=\color{dkgreen}, % comment style
-  stringstyle=\color{mauve},    % string literal style
+  %stringstyle=\color{mauve},    % string literal style
   numberstyle=\tiny,
 }
 
@@ -58,13 +58,13 @@ der $\Omega$ er gitt ved føringene
   x_{2} & \geq 0 \label{eq:foring5} \\
   x_{3} & \geq 0 \label{eq:foring6}.
 \end{align}
-\begin{figure}[h!]
-  \begin{center}
-  \includegraphics[width=12cm,height=9cm]{figur.png}
-  \caption{Området $\Omega$, nivåflater for $f(x) = 8$ og $f(x) = 2$, samt mulige KKT-punkter.}
-  \label{fig}
-  \end{center}
-\end{figure}
+%\begin{figure}[h!]
+%  \begin{center}
+%  \includegraphics[width=12cm,height=9cm]{figur.png}
+%  \caption{Området $\Omega$, nivåflater for $f(x) = 8$ og $f(x) = 2$, samt mulige KKT-punkter.}
+%  \label{fig}
+%  \end{center}
+%\end{figure}
 
 Vi finner gradienten til $f$, som er gitt ved
 \begin{equation}
@@ -73,66 +73,99 @@ Vi finner gradienten til $f$, som er gitt ved
 og ser at denne aldri kan være lik $0$, slik at vi kun vil kunne finne
 lokale minimumspunkter på randen av $\Omega$. Siden området er lukket og
 begrenset, vet vi også at det finnes minst ett lokalt minimumspunkt.
+
 \subsection{a)}
-Vi vil så vise at $x_a = (0,\sqrt{2},\sqrt{2})$ er et KKT-punkt.\\
-Dersom $x_a$ er et KKT-punkt, har vi at det må oppfylle KKT-ligningene
-\begin{eqnarray}
-\nabla_{x}\mathcal{L}(x,\lambda) = \nabla f(x) - \sum_{i\in\mathcal{A}}\lambda_i \nabla c_i(x) &=& 0,\\
-\lambda_i \cdot c_i(x) &=& 0, i \in \mathcal{E} \cup \mathcal{I},\\
-\lambda_i &\geq & 0, i \in \mathcal{I},
-\label{}
-\end{eqnarray}
-der \textit{Lagrange-funksjonen} $\mathcal{L}$ er definert
+Vi vil så vise at $x_a = (0,\sqrt{2},\sqrt{2})$ er et KKT-punkt. Dersom $x_a$
+er et KKT-punkt, har vi at det må oppfylle KKT-ligningene
+\begin{alignat}{2}
+  \nabla_{x}\mathcal{L}(x,\lambda) = \nabla f(x) - \sum_{i\in\mathcal{A}}\lambda_i \nabla c_i(x) &= 0, \\
+  \lambda_i \cdot c_i(x) &= 0 &\quad& i \in \mathcal{E} \cup \mathcal{I}, \\
+  \lambda_i &\geq 0 && i \in \mathcal{I},
+\end{alignat}
+der \emph{Lagrange-funksjonen} $\mathcal{L}$ er definert som
 \begin{equation}
-\mathcal{L}(x,\lambda) = f(x) - \lambda'c(x),
-\label{}
+  \mathcal{L}(x,\lambda) = f(x) - \lambda'c(x),
 \end{equation}
-der $\lambda = (\lambda_1,\cdot\cdot\cdot,\lambda_m)'$ og $c(x) = (c_1(x),\cdot\cdot\cdot,c_m(x))'$.
-Fra KKT-ligningene ser vi at for alle inaktive føringer, $i \in \mathcal{I}\setminus\mathcal{A}$ der $c_i(x) > 0$, vil de tilhørende $\lambda_i = 0$. I punktet vi vil undersøke, $x_a$, ser vi at føringene $(1)$, $(2)$ og $(4)$ er aktive, slik at $\lambda_3 = \lambda_5 = \lambda_6 = 0$. Ved å skrive ut komponentene til $\nabla_x\mathcal{L}$ og sette inn koordinatene til $x_a$ får vi dermed ligningene
-\begin{eqnarray}
-11 - \lambda_4 &=& 0\nonumber\\
-2\sqrt{2}\lambda_1 - 2\sqrt{2}\lambda_2 &=& 0\nonumber\\
-1 - 2\sqrt{2}\lambda_1 - 2\sqrt{2}\lambda_2 &=& 0,
-\label{}
-\end{eqnarray}
-som gir oss $\lambda_1 = \lambda_2 = \frac{1}{4\sqrt{2}}$ og $\lambda_4 = 11$.\\
-Disse er positive $\Rightarrow x_a$ oppfyller KKT-ligningene $\Rightarrow x_a$ er et KKT-punkt.
+der $\lambda = (\lambda_1,\cdot\cdot\cdot,\lambda_m)'$ og $c(x) =
+(c_1(x),\cdot\cdot\cdot,c_m(x))'$. Fra KKT-ligningene ser vi at for alle
+inaktive føringer, $i \in \mathcal{I}\setminus\mathcal{A}$ der $c_i(x) > 0$,
+vil de tilhørende $\lambda_i = 0$. I punktet vi vil undersøke, $x_a$, ser vi at
+føringene $(1)$, $(2)$ og $(4)$ er aktive, slik at $\lambda_3 = \lambda_5 =
+\lambda_6 = 0$. Ved å skrive ut komponentene til $\nabla_x\mathcal{L}$ og sette
+inn koordinatene til $x_a$ får vi dermed ligningene
+\begin{align}
+  11 - \lambda_4 &= 0 \nonumber \\
+  2\sqrt{2}\lambda_1 - 2\sqrt{2}\lambda_2 &= 0 \nonumber \\
+  1 - 2\sqrt{2}\lambda_1 - 2\sqrt{2}\lambda_2 &= 0,
+\end{align}
+som gir oss $\lambda_1 = \lambda_2 = \frac{1}{4\sqrt{2}}$ og $\lambda_4 = 11$.
+Disse er positive $\Rightarrow x_a$ oppfyller KKT-ligningene $\Rightarrow x_a$
+er et KKT-punkt.
+
 \subsection{b)}
-Vi vil bruke MATLAB-funksjonen \texttt{fmincon} til å finne andre KKT-punkter.\\
+Vi vil bruke MATLAB-funksjonen \texttt{fmincon} til å finne andre KKT-punkter.
 Først modifiserte vi den oppgitte koden.
 \begin{lstlisting}
 OPTIONS = optimset('Algorithm','active-set','TolX',1e-10,'TolCon',1e-10,'TolFun',1e-10);
 x = fmincon('foppg1',x0,[],[],[],[],[],[],'constraints',OPTIONS)
 \end{lstlisting}
-Ved å prøve forskjellige verdier for $x_0$ fant vi frem til punktene $x_b = (2.0004,0,2.0004)$, $x_c = (0,0,2)$ og $x_d = (\sqrt{2},0,\sqrt{2})$ som mulige KKT-punkter.
+Ved å prøve forskjellige verdier for $x_0$ fant vi frem til punktene $x_b =
+(2.0004,0,2.0004)$, $x_c = (0,0,2)$ og $x_d = (\sqrt{2},0,\sqrt{2})$ som mulige
+KKT-punkter.
+
 \subsection{c)}
-Vi vil undersøke disse punktene nærmere, for å avgjøre om noen av dem kan være lokale minimumspunkter.\\
-Først undersøker vi punktet $x_b$, og ser om vi kan finne et KKT-punkt i nærheten av det analytisk. Vi ser at kun føringene $(1)$ og $(5)$ er aktive i et slikt punkt. Vi bruker at $x_2 = 0$, setter dette inn i $(1)$, og får dermed at
+Vi vil undersøke disse punktene nærmere, for å avgjøre om noen av dem kan være
+lokale minimumspunkter.
+
+Først undersøker vi punktet $x_b$, og ser om vi kan finne et KKT-punkt i
+nærheten av det analytisk. Vi ser at kun føringene $(1)$ og $(5)$ er aktive i
+et slikt punkt. Vi bruker at $x_2 = 0$, setter dette inn i $(1)$, og får dermed
+at
 \begin{equation}
--x_{1}^{2} + x_{3}^{2} = 0 \;\;\;\Rightarrow \;\;x_{1}^{2} = x_{3}^{2} \;\;\Rightarrow\;\; x_{1} = \pm x_{3}.
-\label{}
+  -x_{1}^{2} + x_{3}^{2} = 0 \;\;\;\Rightarrow \;\;x_{1}^{2} = x_{3}^{2}
+    \;\;\Rightarrow\;\; x_{1} = \pm x_{3}.
 \end{equation}
-Siden alle $x_i \geq 0$, har vi da at $x_1 = x_3$. Vi settee dette inn i funksjonsuttrykket (\ref{f}), og får da at med disse aktive føringene kan funksjonen uttrykkes
+Siden alle $x_i \geq 0$, har vi da at $x_1 = x_3$. Vi settee dette inn i
+funksjonsuttrykket (\ref{eq:f}), og får da at med disse aktive føringene kan
+funksjonen uttrykkes
 \begin{equation}
-f_{1,5}(x)= x_{1}^{3}-6x_{1}^{2} + 12x_{1}.
-\label{f15}
+  f_{1,5}(x)= x_{1}^{3}-6x_{1}^{2} + 12x_{1}.
+  \label{f15}
 \end{equation}
-Vi kan enkelt finne kritiske punkter til $f_{1,5}$ ved å finne punktene som oppfyller $\frac{\partial}{\partial x_1}f_{1,5} = 0$. Vi får kun ett slikt punkt, $x_1 = 2$, som nødvendigvis må være et sadelpunkt, siden $f_{1,5}$ er en tredjegradsfunksjon. Altså kan ikke $(2,0,2)$ være et lokalt minimumspunkt for $f$ i $\Omega$.\\
-\\
-Videre vil vi undersøke punktet $x_c = (0,0,2)$. Dette er også et KKT-punkt, og åpenbart det som gir lavest funksjonsverdi der $x_1 = x_2 = 0$. Vi mistenker likevel at det ikke er et lokalt minimumspunkt, og undersøker hva som skjer dersom vi lar $x_2 > 0$, og holder føring $(2)$ aktiv.\\
-Vi får da $x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 = 0\;\;\Rightarrow\;\;x_{3} = \sqrt{4-x_{2}^{2}}$. Vi kan da se at funksjonen minker når $x_2$ øker, slik at $x_c$ ikke kan være noe lokalt minimumspunkt.\\
-Så vil vi undersøke $x_d = (\sqrt{2},0,\sqrt{2})$, som er det eneste punktet hvor føringene $(1)$, $(2)$ og $(5)$ aktive. Dersom vi lar $x_2 > 0$, får vi ved å sette $(1)$ inn i $(2)$ at $x_3 = 2$, og får
+Vi kan enkelt finne kritiske punkter til $f_{1,5}$ ved å finne punktene som
+oppfyller $\frac{\partial}{\partial x_1}f_{1,5} = 0$. Vi får kun ett slikt
+punkt, $x_1 = 2$, som nødvendigvis må være et sadelpunkt, siden $f_{1,5}$ er en
+tredjegradsfunksjon. Altså kan ikke $(2,0,2)$ være et lokalt minimumspunkt for
+$f$ i $\Omega$.
+
+Videre vil vi undersøke punktet $x_c = (0,0,2)$. Dette er også et KKT-punkt, og
+Ã¥penbart det som gir lavest funksjonsverdi der $x_1 = x_2 = 0$. Vi mistenker
+likevel at det ikke er et lokalt minimumspunkt, og undersøker hva som skjer
+dersom vi lar $x_2 > 0$, og holder føring $(2)$ aktiv.
+
+Vi får da $x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 = 0\;\;\Rightarrow\;\;x_{3} =
+\sqrt{4-x_{2}^{2}}$. Vi kan da se at funksjonen minker når $x_2$ øker, slik at
+$x_c$ ikke kan være noe lokalt minimumspunkt.
+
+Så vil vi undersøke $x_d = (\sqrt{2},0,\sqrt{2})$, som er det eneste punktet
+hvor føringene $(1)$, $(2)$ og $(5)$ aktive. Dersom vi lar $x_2 > 0$, får vi
+ved å sette $(1)$ inn i $(2)$ at $x_3 = 2$, og får
 \begin{equation}
-f_{1,2}(x)= x_{1}^{3}-6x_{1}^{2} + 11x_{1} + 2.
-\label{f15}
+  f_{1,2}(x)= x_{1}^{3}-6x_{1}^{2} + 11x_{1} + 2.
+  %\label{f15}
 \end{equation}
 Ved å derivere mhp. $x_1$, får vi
 \begin{equation}
-f_{1,2}(x_d) = 3x_{d_1}^{2}-12x_{d_1} + 11 = 17 - 12\sqrt{2} > 0,
-\label{f15}
+  f_{1,2}\left(x_d\right) = 3x_{d_1}^{2}-12x_{d_1} + 11 = 17 - 12\sqrt{2} > 0,
+  %\label{f15}
 \end{equation}
-slik at funksjonen minker når $x_1$ minker. Det finnes altså punkter med lavere funskjonsverdi i nærheten av $x_d$, og det kan ikke være noe lokalt minimumspunkt.\\
-Vi står da igjen med $x_a$ som eneste kandidat til minimumspunkt i $\Omega$. Dette må altså være minimumspunktet vårt, noe som også fremgår av Figur (\ref{fig}).
+slik at funksjonen minker når $x_1$ minker. Det finnes altså punkter med lavere
+funskjonsverdi i nærheten av $x_d$, og det kan ikke være noe lokalt
+minimumspunkt.
+
+Vi står da igjen med $x_a$ som eneste kandidat til minimumspunkt i $\Omega$.
+Dette må altså være minimumspunktet vårt, noe som også fremgår av figur
+\ref{fig}.
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsection{a)}