Worked some more on problem 2

diff --git a/rapport.tex b/rapport.tex
index 942115d1342a09ae865e397e4a016d3a717808b3..770627de7cd11ef4854f54747d4eb79b0edb57b7 100644 (file)
--- a/rapport.tex
+++ b/rapport.tex
@@ -93,10 +93,53 @@ får vi da dette kvadratiske optimiserings-problemet:
 \end{gather}
 
 \subsection{b)}
-State KKT-equations
+KKT-likningene blir da
+\begin{gather}
+  \label{eq:kkt}
+  \nabla_x\mathcal{L} = -\mu + \kappa Cx - \pi v - \lambda = 0 \\
+  \begin{alignedat}{2}
+  \pi\left(v'x-1\right) &= 0 \\
+  \lambda_i             &\geq 0 &\quad& i \in \mathcal{I}
+  \end{alignedat}
+\end{gather}
+hvor $\lambda$ er en $n$-vektor med Lagrange-multiplikatorene til
+ulikhets-skrankene.
 
 \subsection{c)}
-Guess when kappa = 0 and solve lp problem
+Når $\kappa = 0$ ser vi bort fra variansen og kovariansen til aksjene,
+og forsøker kun å maksimere profitten. Vi gjetter at det da er best å
+holde seg til én aksje. Vi kjøper $x_k = \frac{1}{v_k}$ av aksje $k$.
+Dette gir et resultat $R = x_k \mu_k = \frac{\mu_k}{v_k}$, så vi velger
+å kjøpe så mye som mulig av den aksjen der $\frac{\mu_k}{v_k}$ er
+størst.
+
+Problemet reduseres da til et LP-problem, med følgende dual-problem
+(???)
+\begin{gather}
+  \label{eq:dual}
+  \min -\pi \\
+  -\mu -\pi v \geq 0
+\end{gather}
+Som vi ser trenger vi bare å minimere én variabel. KKT-likningene for
+dette problemet blir da:
+\begin{align}
+  \label{eq:dualkkt}
+  \nabla_\pi\mathcal{L} = -1 + x'v &= 0 \\
+  -\mu -\pi v &\geq 0 \\
+  x'\left(-\mu - v\pi\right) &= 0 \\
+  x &\geq 0
+\end{align}
+Dette løser vi ved å trikse litt.
+
+\subsection{d)}
+$\kappa = \inf$ heyyy.
+
+\subsection{e)}
+Diskuter løsning når $n$ er liten. I dette tilfellet kan man gå gjennom
+alle mulige kombinasjoner av aktive constraints f.eks.
+
+\subsection{f)}
+Kanskje vi får plass til et bittelite numerisk eksempel her????
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Oppgave 3}