Tweak some margins and fix some references

diff --git a/rapport.tex b/rapport.tex
index 489b39bd69751fa3dc285c1452e42b8ff21f7796..9728f6036a52e1d1f9185b2beef7b4bf69079365 100644 (file)
--- a/rapport.tex
+++ b/rapport.tex
@@ -2,6 +2,7 @@
 % Utført av: Lars og Bjørn
 
 \documentclass[12pt, a4paper]{article}
+\special{papersize=210mm,297mm}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage{listings}
 \usepackage{graphicx}
@@ -9,6 +10,7 @@
 \usepackage{xfrac}
 \usepackage{natbib}
 \usepackage{amssymb, amsmath}
+\usepackage[top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm]{geometry}
 \setcounter{secnumdepth}{0}
 
 \lstset{
@@ -90,9 +92,10 @@ der $\lambda = (\lambda_1,\cdot\cdot\cdot,\lambda_m)'$ og $c(x) =
 (c_1(x),\cdot\cdot\cdot,c_m(x))'$. Fra KKT-ligningene ser vi at for alle
 inaktive føringer, $i \in \mathcal{I}\setminus\mathcal{A}$ der $c_i(x) > 0$,
 vil de tilhørende $\lambda_i = 0$. I punktet vi vil undersøke, $x_a$, ser vi at
-føringene $(1)$, $(2)$ og $(4)$ er aktive, slik at $\lambda_3 = \lambda_5 =
-\lambda_6 = 0$. Ved å skrive ut komponentene til $\nabla_x\mathcal{L}$ og sette
-inn koordinatene til $x_a$ får vi dermed ligningene
+føringene \eqref{eq:foring1}, \eqref{eq:foring2} og \eqref{eq:foring4} er
+aktive, slik at $\lambda_3 = \lambda_5 = \lambda_6 = 0$. Ved å skrive ut
+komponentene til $\nabla_x\mathcal{L}$ og sette inn koordinatene til $x_a$ får
+vi dermed ligningene
 \begin{align}
   11 - \lambda_4 &= 0 \nonumber \\
   2\sqrt{2}\lambda_1 - 2\sqrt{2}\lambda_2 &= 0 \nonumber \\
@@ -118,9 +121,9 @@ Vi vil undersøke disse punktene nærmere, for å avgjøre om noen av dem kan v
 lokale minimumspunkter.
 
 Først undersøker vi punktet $x_b$, og ser om vi kan finne et KKT-punkt i
-nærheten av det analytisk. Vi ser at kun føringene $(1)$ og $(5)$ er aktive i
-et slikt punkt. Vi bruker at $x_2 = 0$, setter dette inn i $(1)$, og får dermed
-at
+nærheten av det analytisk. Vi ser at kun føringene \eqref{eq:foring1} og
+\eqref{eq:foring5} er aktive i et slikt punkt. Vi bruker at $x_2 = 0$, setter
+dette inn i \eqref{eq:foring1}, og får dermed at
 \begin{equation}
   -x_{1}^{2} + x_{3}^{2} = 0 \;\;\;\Rightarrow \;\;x_{1}^{2} = x_{3}^{2}
     \;\;\Rightarrow\;\; x_{1} = \pm x_{3}.
@@ -141,15 +144,16 @@ $f$ i $\Omega$.
 Videre vil vi undersøke punktet $x_c = (0,0,2)$. Dette er også et KKT-punkt, og
 åpenbart det som gir lavest funksjonsverdi der $x_1 = x_2 = 0$. Vi mistenker
 likevel at det ikke er et lokalt minimumspunkt, og undersøker hva som skjer
-dersom vi lar $x_2 > 0$, og holder føring $(2)$ aktiv.
+dersom vi lar $x_2 > 0$, og holder føring \eqref{eq:foring2} aktiv.
 
 Vi får da $x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 = 0\;\;\Rightarrow\;\;x_{3} =
 \sqrt{4-x_{2}^{2}}$. Vi kan da se at funksjonen minker når $x_2$ øker, slik at
 $x_c$ ikke kan være noe lokalt minimumspunkt.
 
 Så vil vi undersøke $x_d = (\sqrt{2},0,\sqrt{2})$, som er det eneste punktet
-hvor føringene $(1)$, $(2)$ og $(5)$ aktive. Dersom vi lar $x_2 > 0$, får vi
-ved å sette $(1)$ inn i $(2)$ at $x_3 = 2$, og får
+hvor føringene \eqref{eq:foring1}, \eqref{eq:foring2} og \eqref{eq:foring5}
+aktive. Dersom vi lar $x_2 > 0$, får vi ved å sette \eqref{eq:foring1} inn i
+\eqref{eq:foring2} at $x_3 = 2$, og får
 \begin{equation}
   f_{1,2}(x)= x_{1}^{3}-6x_{1}^{2} + 11x_{1} + 2.
   %\label{f15}