Get 2ef from Lars, fix references etc

diff --git a/rapport.tex b/rapport.tex
index f1411eb7274b0859b280c3ac4a7d5802d074c9e4..951fab531a56caec5ae0d3da16d3cd3dcaa69f8b 100644 (file)
--- a/rapport.tex
+++ b/rapport.tex
@@ -4,9 +4,11 @@
 \documentclass[12pt, a4paper]{article}
 \special{papersize=210mm,297mm}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[norsk]{babel}
 \usepackage{listings}
 \usepackage{graphicx}
 \usepackage{color}
+\usepackage{hyperref}
 \usepackage{xfrac}
 \usepackage{natbib}
 \usepackage{amssymb, amsmath}
@@ -129,7 +131,7 @@ dette inn i \eqref{eq:foring1}, og får dermed at
   -x_{1}^{2} + x_{3}^{2} = 0 \;\;\;\Rightarrow \;\;x_{1}^{2} = x_{3}^{2}
     \;\;\Rightarrow\;\; x_{1} = \pm x_{3}.
 \end{equation}
-Siden alle $x_i \geq 0$, har vi da at $x_1 = x_3$. Vi settee dette inn i
+Siden alle $x_i \geq 0$, har vi da at $x_1 = x_3$. Vi setter dette inn i
 funksjonsuttrykket (\ref{eq:f}), og får da at med disse aktive føringene kan
 funksjonen uttrykkes
 \begin{equation}
@@ -239,7 +241,8 @@ Dette gir et resultat $R = x_k \mu_k = \frac{\mu_k}{v_k}$, så vi velger
 å kjøpe så mye som mulig av den aksjen der $\frac{\mu_k}{v_k}$ er
 størst.
 
-Problemet reduseres da til et LP-problem, med følgende dual-problem
+Vi vil bekrefte dette ved å se på det nye LP-problemet, med følgende
+dual-problem:
 \begin{gather}
   \label{eq:dual}
   \min -\pi \\
@@ -276,15 +279,66 @@ er det vilkårlig hvor mange vi kjøper av hver, så lenge likning
 \eqref{eq:duallagrange} er oppfylt.
 
 \subsection{d)}
-$\kappa = \inf$ heyyy.
+Vi har nå at $C$ er diagonal med diagonalelementer $\sigma_{ii} > 0$ for
+$i=1,\cdots,n$, slik at alle aksjer har varians, og ser på løsningen av
+problemet når $\kappa \to \infty$.
 
-\subsection{e)}
-Når antallet aksjer $n$ er liten, f.eks. $2$ eller $3$, lar problemet
-seg håndtere uten bruk av Matlab. Problemet \eqref{eq:quadopt} og
-KKT-likningene \eqref{eq:kkt} er som før, med en likhets-føring, og $n$
-ulikhetsføringer. Dette gir oss $2^n$ forskjellige mulige kombinasjoner
-av aktive føringer. Disse må man gå gjennom, og når man får et KKT-punkt
-vet man at man har et minimum, da problemet fortsatt er konvekst.
+Problemet forenkler seg da til
+\begin{equation}
+  \min_{x}\left\{ \frac{1}{2}x'Cx \right\} = \min_x \left\{
+    \sum_{i=1}^{n}\sigma_{ii}x_{i}^{2} \right\},
+\end{equation}
+med samme føringer som tidligere.
+
+For å minimere variansen, tenker vi at det må være lurt å spre risikoen
+utover flest mulig aksjer, slik at vi kjøper litt av alle. Altså prøver
+vi først å la alle $x_i > 0$, slik at ingen av ulikhetsføringene er
+aktive. Vi deriverer Lagrange-funksjonen, og får på komponentform 
+\begin{equation}
+  \frac{\partial}{\partial x_i}\mathcal{L}(x,\lambda) = \sigma_{ii}x_i -
+    \pi v_i = 0,
+\end{equation}
+slik at
+\begin{equation}
+  x_i = \frac{\pi v_i}{\sigma_{ii}}.
+\end{equation}
+Dette setter vi så inn i likhetsføringen $v'x - 1 = 0$ på komponentform,
+og får
+\begin{equation} 
+  \sum_{i=1}^{n}v_i \frac{\pi v_i}{\sigma_{ii}} - 1 =
+  0\;\;\Rightarrow\;\;\pi = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n}
+  \frac{v_{i}^{2}}{\sigma_{ii}}} = \frac{1}{v'C^{-1}v}.
+\end{equation}
+Dette kan vi sette inn i uttrykket for den deriverte av
+Lagrange-funksjonen, nå på vektorform,
+\begin{equation} 
+  \nabla_x \mathcal{L} = Cx - \pi v = 0,
+\end{equation}
+og får ved å flytte over og gange med $C^{-1}$ følgende uttrykk for $x$:
+\begin{equation} 
+  x = \frac{C^{-1}v}{v'C^{-1}v}.
+\end{equation}
+Vi ser altså ut til å ha funnet en løsning, og siden $f$ er en konveks
+funskjon når $C$ er positiv definitt, vet vi at løsningen er unik.
+Antagelsen om at det ville lønne seg å kjøpe litt av hver aksje stemmer.
+
+\subsection{e)} 
+Dersom $n=2$ eller $n=3$ og $\kappa > 0$, vil vi antagelig kunne klare å
+finne en løsning av problemet uten alt for mye arbeid. Når $n=2$
+\emph{kan} vi skrive ut vektor- og matriseproduktene, bruke
+likhetsføringen, og løse systemet med innsettingsmetoden. Vi vil da få
+et uttrykk for $x_1$ og $x_2$ med bare kjente størrelser, men selv med
+$n=2$ viste dette seg å bli lite elegante uttrykk, og en temmelig
+arbeidsom metode. For $n=3$ kan vi forestille oss at det blir langt
+verre.
+
+Den enkleste måten å gå frem på, vil være å systematisk gå gjennom alle
+mulige kombinasjoner av aktive føringer – $2^n$ – og lete etter
+KKT-punkter, slik som i \citep*[s.~7]{kktnote}. Dette kan vi gjøre så
+lenge $n$ er liten. Siden vi vet at $C$ vil være minst positiv
+semi-definitt, vet vi at vi får et konvekst problem, slik at KKT-punkt
+vil være løsninger. Er $C$ positiv definitt vil det kun være ett slikt
+punkt, som vil være den unike løsningen av problemet.
 
 \subsection{f)}
 Vi konstruerer et numerisk eksempel der
@@ -491,6 +545,6 @@ vi fremdeles fikk steg med større feil enn tidligere. Ved å undersøke
 saken nærmere ser vi at vi får større feil i steg der produktet $v'p <
 0$, men fant ingen metode for å forhindre dette.
 
-\bibliographystyle{plain}
+\bibliographystyle{alpha}
 \bibliography{refs}
 \end{document}