%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Oppgave 1}
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\subsection{a)}
-Hei og hå. Her skriver Lars noe gøy.
+Vi har problemet
+\begin{equation}
+ \label{eq:f}
+ \min_{x\in\Omega}{f(x)} = \min{\{x_{1}^{3}-6x_{1}^{2} + 11x_{1} +
+ x_{3} \}},
+\end{equation}
+der $\Omega$ er gitt ved føringene
+\begin{align}
+ -x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+x_{3}^{2} &\geq 0 \label{eq:foring1} \\
+ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 &\geq 0 \label{eq:foring2} \\
+ -x_{3} + 5 &\geq 0 \label{eq:foring3} \\
+ x_{1} & \geq 0 \label{eq:foring4} \\
+ x_{2} & \geq 0 \label{eq:foring5} \\
+ x_{3} & \geq 0 \label{eq:foring6}.
+\end{align}
+\begin{figure}[h!]
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=12cm,height=9cm]{figur.png}
+ \caption{Området $\Omega$, nivåflater for $f(x) = 8$ og $f(x) = 2$, samt mulige KKT-punkter.}
+ \label{fig}
+ \end{center}
+\end{figure}
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\section{Oppgave 2}
+Vi finner gradienten til $f$, som er gitt ved
+\begin{equation}
+ \nabla f = [3x_{1}^{2}-12x_{1}+11, 0, 1],
+\end{equation}
+og ser at denne aldri kan være lik $0$, slik at vi kun vil kunne finne
+lokale minimumspunkter på randen av $\Omega$. Siden området er lukket og
+begrenset, vet vi også at det finnes minst ett lokalt minimumspunkt.
+\subsection{a)}
+Vi vil så vise at $x_a = (0,\sqrt{2},\sqrt{2})$ er et KKT-punkt.\\
+Dersom $x_a$ er et KKT-punkt, har vi at det må oppfylle KKT-ligningene
+\begin{eqnarray}
+\nabla_{x}\mathcal{L}(x,\lambda) = \nabla f(x) - \sum_{i\in\mathcal{A}}\lambda_i \nabla c_i(x) &=& 0,\\
+\lambda_i \cdot c_i(x) &=& 0, i \in \mathcal{E} \cup \mathcal{I},\\
+\lambda_i &\geq & 0, i \in \mathcal{I},
+\label{}
+\end{eqnarray}
+der \textit{Lagrange-funksjonen} $\mathcal{L}$ er definert
+\begin{equation}
+\mathcal{L}(x,\lambda) = f(x) - \lambda'c(x),
+\label{}
+\end{equation}
+der $\lambda = (\lambda_1,\cdot\cdot\cdot,\lambda_m)'$ og $c(x) = (c_1(x),\cdot\cdot\cdot,c_m(x))'$.
+Fra KKT-ligningene ser vi at for alle inaktive føringer, $i \in \mathcal{I}\setminus\mathcal{A}$ der $c_i(x) > 0$, vil de tilhørende $\lambda_i = 0$. I punktet vi vil undersøke, $x_a$, ser vi at føringene $(1)$, $(2)$ og $(4)$ er aktive, slik at $\lambda_3 = \lambda_5 = \lambda_6 = 0$. Ved å skrive ut komponentene til $\nabla_x\mathcal{L}$ og sette inn koordinatene til $x_a$ får vi dermed ligningene
+\begin{eqnarray}
+11 - \lambda_4 &=& 0\nonumber\\
+2\sqrt{2}\lambda_1 - 2\sqrt{2}\lambda_2 &=& 0\nonumber\\
+1 - 2\sqrt{2}\lambda_1 - 2\sqrt{2}\lambda_2 &=& 0,
+\label{}
+\end{eqnarray}
+som gir oss $\lambda_1 = \lambda_2 = \frac{1}{4\sqrt{2}}$ og $\lambda_4 = 11$.\\
+Disse er positive $\Rightarrow x_a$ oppfyller KKT-ligningene $\Rightarrow x_a$ er et KKT-punkt.
+\subsection{b)}
+Vi vil bruke MATLAB-funksjonen \texttt{fmincon} til å finne andre KKT-punkter.\\
+Først modifiserte vi den oppgitte koden.
+\begin{lstlisting}
+OPTIONS = optimset('Algorithm','active-set','TolX',1e-10,'TolCon',1e-10,'TolFun',1e-10);
+x = fmincon('foppg1',x0,[],[],[],[],[],[],'constraints',OPTIONS)
+\end{lstlisting}
+Ved å prøve forskjellige verdier for $x_0$ fant vi frem til punktene $x_b = (2.0004,0,2.0004)$, $x_c = (0,0,2)$ og $x_d = (\sqrt{2},0,\sqrt{2})$ som mulige KKT-punkter.
+\subsection{c)}
+Vi vil undersøke disse punktene nærmere, for å avgjøre om noen av dem kan være lokale minimumspunkter.\\
+Først undersøker vi punktet $x_b$, og ser om vi kan finne et KKT-punkt i nærheten av det analytisk. Vi ser at kun føringene $(1)$ og $(5)$ er aktive i et slikt punkt. Vi bruker at $x_2 = 0$, setter dette inn i $(1)$, og får dermed at
+\begin{equation}
+-x_{1}^{2} + x_{3}^{2} = 0 \;\;\;\Rightarrow \;\;x_{1}^{2} = x_{3}^{2} \;\;\Rightarrow\;\; x_{1} = \pm x_{3}.
+\label{}
+\end{equation}
+Siden alle $x_i \geq 0$, har vi da at $x_1 = x_3$. Vi settee dette inn i funksjonsuttrykket (\ref{f}), og får da at med disse aktive føringene kan funksjonen uttrykkes
+\begin{equation}
+f_{1,5}(x)= x_{1}^{3}-6x_{1}^{2} + 12x_{1}.
+\label{f15}
+\end{equation}
+Vi kan enkelt finne kritiske punkter til $f_{1,5}$ ved å finne punktene som oppfyller $\frac{\partial}{\partial x_1}f_{1,5} = 0$. Vi får kun ett slikt punkt, $x_1 = 2$, som nødvendigvis må være et sadelpunkt, siden $f_{1,5}$ er en tredjegradsfunksjon. Altså kan ikke $(2,0,2)$ være et lokalt minimumspunkt for $f$ i $\Omega$.\\
+\\
+Videre vil vi undersøke punktet $x_c = (0,0,2)$. Dette er også et KKT-punkt, og åpenbart det som gir lavest funksjonsverdi der $x_1 = x_2 = 0$. Vi mistenker likevel at det ikke er et lokalt minimumspunkt, og undersøker hva som skjer dersom vi lar $x_2 > 0$, og holder føring $(2)$ aktiv.\\
+Vi får da $x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 = 0\;\;\Rightarrow\;\;x_{3} = \sqrt{4-x_{2}^{2}}$. Vi kan da se at funksjonen minker når $x_2$ øker, slik at $x_c$ ikke kan være noe lokalt minimumspunkt.\\
+Så vil vi undersøke $x_d = (\sqrt{2},0,\sqrt{2})$, som er det eneste punktet hvor føringene $(1)$, $(2)$ og $(5)$ aktive. Dersom vi lar $x_2 > 0$, får vi ved å sette $(1)$ inn i $(2)$ at $x_3 = 2$, og får
+\begin{equation}
+f_{1,2}(x)= x_{1}^{3}-6x_{1}^{2} + 11x_{1} + 2.
+\label{f15}
+\end{equation}
+Ved å derivere mhp. $x_1$, får vi
+\begin{equation}
+f_{1,2}(x_d) = 3x_{d_1}^{2}-12x_{d_1} + 11 = 17 - 12\sqrt{2} > 0,
+\label{f15}
+\end{equation}
+slik at funksjonen minker når $x_1$ minker. Det finnes altså punkter med lavere funskjonsverdi i nærheten av $x_d$, og det kan ikke være noe lokalt minimumspunkt.\\
+Vi står da igjen med $x_a$ som eneste kandidat til minimumspunkt i $\Omega$. Dette må altså være minimumspunktet vårt, noe som også fremgår av Figur (\ref{fig}).
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{a)}
projects / optimering / commitdiff