Finished up problem 2c

diff --git a/rapport.tex b/rapport.tex
index 770627de7cd11ef4854f54747d4eb79b0edb57b7..b83c8e97a1a6f86006443b8632ee085a6269fb9d 100644 (file)
--- a/rapport.tex
+++ b/rapport.tex
@@ -114,7 +114,6 @@ Dette gir et resultat $R = x_k \mu_k = \frac{\mu_k}{v_k}$, så vi velger
 størst.
 
 Problemet reduseres da til et LP-problem, med følgende dual-problem
-(???)
 \begin{gather}
   \label{eq:dual}
   \min -\pi \\
@@ -123,13 +122,32 @@ Problemet reduseres da til et LP-problem, med følgende dual-problem
 Som vi ser trenger vi bare å minimere én variabel. KKT-likningene for
 dette problemet blir da:
 \begin{align}
-  \label{eq:dualkkt}
-  \nabla_\pi\mathcal{L} = -1 + x'v &= 0 \\
-  -\mu -\pi v &\geq 0 \\
-  x'\left(-\mu - v\pi\right) &= 0 \\
+  \nabla_\pi\mathcal{L} = -1 + x'v &= 0 \label{eq:duallagrange} \\
+  -\mu -\pi v &\geq 0 \label{eq:dualconstr} \\
+  x_i\left(-\mu_i - v_i\pi\right) &= 0 \label{eq:dualkkt1} \\
   x &\geq 0
 \end{align}
-Dette løser vi ved å trikse litt.
+Likning \eqref{eq:dualconstr} kan dekomponeres slik at $-\pi \geq
+\frac{\mu_i}{v_i}$ for alle $i \in \left\{1, \cdots, n\right\}$. Da vi
+skal minimere $-\pi$ velger vi
+\begin{equation}
+  \label{eq:piequal}
+  -\pi = \max_i \frac{\mu_i}{v_i} = \frac{\mu_k}{v_k}.
+\end{equation}
+Vi setter dette inn i likning \eqref{eq:dualkkt1} og får
+\begin{equation}
+  \label{eq:dualx}
+  x_i\left(-\mu_i + v_i \frac{\mu_k}{v_k}\right) = 0,
+\end{equation}
+som vil si at $x_i \neq 0$ når
+\begin{equation}
+  \label{eq:dualxnonzero}
+  \frac{\mu_i}{v_i} = \frac{\mu_k}{v_k}.
+\end{equation}
+Vi kjøper altså kun de aksjene som har $\frac{\mu_i}{v_i} = \max_j
+\frac{\mu_i}{v_i}$, og hvis det er flere aksjer som har denne egenskapen
+er det vilkårlig hvor mange vi kjøper av hver, så lenge likning
+\eqref{eq:duallagrange} er oppfylt.
 
 \subsection{d)}
 $\kappa = \inf$ heyyy.